Odds og husfordel: sådan hænger sandsynlighed, udbetaling og tab sammen

Sandsynlighed som begreb

Sandsynlighed beskriver, hvor ofte en given hændelse forventes at indtræffe ud af alle mulige udfald, hvis noget gentages tilstrækkeligt mange gange. Den kan skrives på tre måder, som alle udtrykker det samme tal.

Som brøk skrives sandsynligheden for at slå en bestemt talkombination i et terningkast som 1/6. Som decimaltal bliver det 0,1667. Som procent bliver det 16,67 %. Alle tre er den samme sandsynlighed, blot i forskellig notation.

I odds bruges ofte en fjerde skrivemåde: forholdet mellem gevinstchance og tabschance. En sandsynlighed på 1/6 for gevinst svarer til odds 5 mod 1 imod, fordi der er fem tabsudfald for hvert gevinstudfald.

Oddsformater og hvordan de konverteres

De fleste danske spiludbydere viser odds i decimalformat, men brøkodds og amerikanske odds ses stadig, især hos udenlandske aktører. Alle tre formater beskriver samme forhold mellem indsats og gevinst, og de kan omregnes med simple formler.

Decimalodds angiver den samlede udbetaling pr. satset krone, inklusive indsatsen selv. Brøkodds angiver alene gevinsten i forhold til indsatsen. Amerikanske odds angiver enten gevinsten ved en indsats på 100, eller hvor stor en indsats der skal til for at vinde 100, afhængigt af fortegn.

Implicit sandsynlighed regnes altid som 1 divideret med decimalodds. Det er den sandsynlighed, oddset svarer til, hvis der ikke var nogen margin indregnet.

Eksempel: fra brøk til implicit sandsynlighed

Brøkodds 3/2 giver decimalodds (3/2) + 1 = 2,50. Implicit sandsynlighed bliver 1 / 2,50 = 0,40, altså 40 %.

Amerikanske odds +150 giver decimalodds (150/100) + 1 = 2,50, samme resultat som ovenfor, fordi +150 og 3/2 beskriver identiske vilkår.

Amerikanske odds -150 giver decimalodds (100/150) + 1 = 1,6667, og implicit sandsynlighed 1 / 1,6667 = 0,60, altså 60 %. Negative amerikanske odds bruges til det formodede favorit-udfald, derfor den højere sandsynlighed.

CVD's odds-konverter kan bruges til at omregne mellem formaterne uden at skulle huske formlerne udenad, hvilket er praktisk når man sammenligner odds fra flere kilder.

Margin og overround

Et bookmakermarked er sjældent rent tilfældigt prissat. Summerer man de implicitte sandsynligheder for samtlige udfald i et marked, ender summen typisk over 100 %. Det overskydende beløb kaldes margin eller overround, og det er bookmakerens indbyggede fordel.

Overround regnes som summen af de implicitte sandsynligheder for alle udfald, minus 100 %. En margin på 5 % betyder, at bookmakeren i gennemsnit beholder omkring 5 % af den samlede omsætning på markedet, uanset udfaldet.

Forventet værdi

Forventet værdi, forkortet EV, er gennemsnittet af alle mulige udfald vægtet med deres sandsynlighed. Formlen er: EV = (sandsynlighed for gevinst × nettogevinst) minus (sandsynlighed for tab × indsats).

Eksempel med roulette, enkelt tal på et europæisk hjul med 37 felter: EV = (1/37 × 35) minus (36/37 × 1) = 0,9459 minus 0,9730 = minus 0,0270. Det svarer til et forventet tab på 2,70 % af indsatsen pr. spin, hvilket er præcis husfordelen på det spil.

Et andet eksempel: et terningespil betaler 5 gange indsatsen, hvis man rammer et bestemt tal ud af seks. EV = (1/6 × 5) minus (5/6 × 1) = 0,8333 minus 0,8333 = 0. Her er EV nul, og spillet er hverken en fordel eller ulempe for nogen part, et såkaldt fair spil. Sådanne spil findes stort set ikke i kommercielle udbud.

Alle casinospil, der udbydes af licenserede operatører, har negativ forventet værdi for spilleren. Formålet med at regne EV er derfor ikke at finde et positivt spil, men at forstå og sammenligne den reelle omkostning ved forskellige spil.

Husfordel og RTP: to sider af samme sag

Return to Player, RTP, angiver hvor stor en andel af den samlede omsætning der i gennemsnit forventes udbetalt tilbage til spillerne over meget lang tid. Husfordel er det modsatte tal: RTP = 100 % minus husfordel.

En spilleautomat med 96 % RTP har en husfordel på 4 %. Det betyder, at der for hver omsat krone i gennemsnit forventes udbetalt 96 øre tilbage, mens 4 øre er husets forventede andel.

RTP er et teoretisk, langsigtet gennemsnit beregnet ud fra spillets fulde regelsæt og udbetalingstabel. Det er ikke en garanti for udbetaling i en enkelt session, og det siger intet om, hvordan gevinster fordeler sig over tid.

Hold-procent er ikke det samme som husfordel

Hold-procent er den andel af de faktisk indbetalte penge, en operatør ender med at beholde. Den er næsten altid markant højere end husfordelen, fordi de samme penge typisk omsættes flere gange, før de er tabt eller hævet.

Forklaringen er, at husfordelen gælder pr. omsat krone, ikke pr. indbetalt krone. Hvis en spiller indsætter 1.000 kr. og spiller dem igennem 20 gange, før saldoen er brugt, er den samlede omsætning 20.000 kr., ikke 1.000 kr.

Ved 4 % husfordel giver det et forventet tab på 20.000 × 0,04 = 800 kr., altså 80 % af den oprindelige indbetaling, selvom husfordelen på selve spillet kun er 4 %. Forskellen mellem de to tal forklarer, hvorfor mange oplever, at de taber mere, end husfordelen umiddelbart antyder.

Husfordel i almindelige casinospil

Husfordelen varierer meget mellem spiltyper og endda mellem regelvarianter af samme spil. Tabellen nedenfor viser typiske, ofte citerede intervaller for husfordel ved standardregler og korrekt spillet strategi, hvor det er relevant.

Forventet tab pr. time

Forventet tab pr. time kan regnes som: indsats pr. runde × antal runder pr. time × husfordel. Tallet giver et realistisk billede af, hvad en spilsession forventes at koste over tid, uanset kortsigtede udsving.

Eksempel: en spiller satser 20 kr. pr. spin på en automat med 100 spins i timen og 5 % husfordel. Forventet tab pr. time = 20 × 100 × 0,05 = 100 kr. Fordobles indsatsen til 40 kr., fordobles det forventede tab tilsvarende til 200 kr., selvom husfordelen er uændret.

Antallet af runder pr. time har samme effekt som indsatsstørrelsen: højt tempo øger den forventede omkostning, selv ved lav husfordel, fordi flere runder betyder mere omsætning pr. tidsenhed.

Varians og standardafvigelse uden tung notation

Husfordelen beskriver kun det langsigtede gennemsnit. Varians beskriver, hvor meget de enkelte sessioner forventes at afvige fra det gennemsnit, altså hvor voldsomme udsvingene typisk er.

Et spil med lav varians, som mange bordspil, giver forholdsvis jævne resultater tæt på det forventede tab over mange runder. Et spil med høj varians, som visse spilleautomater eller jackpot-spil, kan give lange perioder uden gevinst efterfulgt af enkelte store udbetalinger, selv med en tilsvarende husfordel.

Standardafvigelse er det tal, der bruges til at måle denne spredning. Som tommelfingerregel vil resultatet efter mange runder med omkring 68 % sandsynlighed ligge inden for én standardafvigelse fra det forventede gennemsnit, og med omkring 95 % sandsynlighed inden for to standardafvigelser.

Eksempel: ved 1.000 spins på en automat med høj varians kan standardafvigelsen på slutresultatet let være flere gange større end det forventede tab. Det betyder, at en enkelt session på 1.000 spins lige så godt kan ende i klart plus som i et tab langt over det statistisk forventede, uden at det ændrer på den langsigtede husfordel. CVD's varians-simulator kan bruges til at se, hvor store sådanne udsving typisk bliver ved forskellige indsatser og spilantal.

Store tals lov og gamblers fallacy

Store tals lov siger, at det gennemsnitlige resultat af mange uafhængige gentagelser nærmer sig den forventede værdi, jo flere gentagelser der er tale om. Den siger derimod intet om, hvad der sker i den næste enkelte runde eller session.

Gamblers fallacy er den udbredte fejlslutning, at en tilfældig hændelse bliver mere eller mindre sandsynlig, fordi den ikke er indtruffet i et stykke tid. Hvis rødt er kommet ti gange i træk i roulette, er sandsynligheden for sort i næste spin stadig uændret, fordi hvert spin er uafhængigt af de foregående.

De to begreber forveksles ofte: store tals lov handler om gennemsnittet over meget lang tid, mens gamblers fallacy fejlagtigt antager, at tilfældigheden selv skal udligne sig på kort sigt.

Hvorfor satsningssystemer ikke ændrer forventet værdi

Satsningssystemer, som Martingale eller lignende progressionsstrategier, ændrer på, hvordan indsatserne fordeler sig over tid og på fordelingen af mulige udfald, men de ændrer ikke det underliggende spils forventede værdi pr. omsat krone.

Da hver enkelt runde stadig har samme negative EV, er summen af mange rundes EV også negativ, uanset i hvilken rækkefølge eller størrelse indsatserne placeres. Et system kan gøre en enkelt sessions resultat mere sandsynligt at være en lille gevinst og mindre sandsynligt at være et lille tab, men til gengæld øges risikoen for et stort tab i de tilfælde, hvor systemet fejler, typisk fordi bordets maksimumsindsats eller spillerens bankroll nås.

Risiko for ruin i simple termer

Risiko for ruin beskriver sandsynligheden for, at en spillers samlede bankroll bliver opbrugt, før en given session eller et givet mål er nået. Jo mindre bankroll i forhold til indsatsstørrelsen, jo højere husfordel, og jo længere man spiller, desto større bliver risikoen for ruin.

Da forventet værdi er negativ ved alle udbudte casinospil, vil risikoen for ruin nærme sig 100 %, hvis man spiller uendeligt længe med samme indsatsmønster. Det er en direkte konsekvens af, at det statistisk forventede resultat over tid er et tab, kombineret med at bankroll er begrænset. CVD's bankroll-planlægger kan bruges til at se, hvordan valg af indsatsstørrelse og bankroll i forhold til det enkelte spils husfordel påvirker, hvor lang tid en given bankroll forventes at kunne holde.

Sådan regner du selv husfordelen ud fra en udbetalingstabel

Husfordelen for et spil med en fast udbetalingstabel kan udregnes ved at gange hver mulig gevinst med dens sandsynlighed, lægge det hele sammen, og sammenholde summen med indsatsen. Denne sum er selve den forventede værdi af spillet.

Eksempel: et simpelt terningespil koster 10 kr. pr. spil på en terning med seks lige sandsynlige udfald. Rammer man 6, udbetales 50 kr. Rammer man 4 eller 5, udbetales 10 kr., altså indsatsen tilbage. Ved 1, 2 eller 3 udbetales intet.

Forventet udbetaling = (1/6 × 50) + (2/6 × 10) + (3/6 × 0) = 8,3333 + 3,3333 + 0 = 11,6667 kr. Husfordelen regnes som (indsats minus forventet udbetaling) divideret med indsats: (10 minus 11,6667) / 10 = minus 0,1667, altså minus 16,67 %. Et negativt tal her betyder, at spillet faktisk har positiv forventet værdi for spilleren, hvilket illustrerer, hvorfor det ikke ville blive udbudt kommercielt uden justering af udbetalingerne.

I praksis vil et kommercielt udbudt spil justere en eller flere af gevinsterne, indtil forventet udbetaling ligger under indsatsen, svarende til en positiv husfordel for operatøren. Samme fremgangsmåde bruges til at kontrollere husfordelen i mere komplekse spil, blot med flere linjer i udbetalingstabellen.

Ansvarligt spil

Fordi alle udbudte casinospil har negativ forventet værdi, bør spil betragtes som betalt underholdning, ikke som en måde at skabe indtægt på. At kende husfordelen og forventet tab pr. time gør det muligt at sætte et realistisk budget for, hvad man er villig til at bruge på underholdningen.

Registrering i Spillemyndighedens selvudelukkelsesordning ROFUS gør det muligt at udelukke sig selv fra spil hos alle danske licenshavere på én gang. Stopspillet.dk og Ludomani.dk tilbyder rådgivning og hjælp til personer, der oplever spilleproblemer, eller som er pårørende til en person med spilleproblemer.

Ofte stillede spørgsmål

Kilder og videre læsning

Vi henviser til offentlige myndigheder og primære kilder. Reglerne kan ændre sig, så kontrollér altid tal og vilkår hos kilden.

• Spillemyndigheden
• ROFUS, register over selvudelukkede spillere
• StopSpillet
• Ludomani.dk